第一章　集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念

一、集合的概念

1.定义：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性

3.集合1=集合2：构成集合的元素完全一样

4.元素与集合的关系：∈和∉

（1）a属于集合A：a∈A

（2）a不属于集合A：a∉A

5.常用数集及其记法

（1）N={全体非负整数}={全体自然数}={0，1，2，……}

（2）N+/N* ={全体正整数}={1，2，3，……}

（3）Z={全体整数}={…，-2，-1，0，1，2，…}

（4）Q={全体有理数}

（5）R={全体实数}

6.集合的分类：有限集，无限集，空集（∅）

7.集合的表示方法：列举法、描述法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，如{1，2，3，4}

（2）描述法：把集合中对的元素的公共属性描述出来，如{x｜x-3>2，x∈N}

8. 奇数集A={x｜x=2k+1，k∈Z}

偶数集B={x｜x=2k，k∈Z}

1.2　集合间的基本关系

一、集合间的基本关系

1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，若任意x∈A，都有x∈B，称A为B的子集。记作：A含于B（A⊆B）,B包含于A（B⊇A）

2.不包含：当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B

3.注意：（1）A不包含于B，记作A⊈B

（2）任意一个集合都是它本身的子集A⊆A

（3）规定空集是任意集合的子集

（4）若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C

4.Venn图（韦恩图）

5.集合相等：两个集合中全部元素相同A=B

满足A⊆B，B⊆A，即A=B

6.真子集：若集合A⊆B，存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集。记作：A⫋B，读作：A真包含于B

7.注意：（1）A⫋B且B⫋C，则A⫋C

（2）∅是任意非空集合的真子集，任何一个集合是它本身的子集

（3）{a，b}的子集有：{a}，{b}，{a，b}，∅

8.空集：不含有任何元素的集合成为空集，记作：∅

9.（1）若A⫋B，则A⊆B且A≠B

（2）若A⊆B，则A=B或A⫋B

10.区分：（1）∈（∉）是指集合与元素之间的关系

（2）⊆（⫋）是表示集合与集合之间的关系

（3）{0}与∅区别：{0}是含有一个元素的集合，而∅是不包含任何元素的集合，因此，∅⊆{0}，但不能写成∅∈{0}

11.若一个集合含有n个元素，则

(1)子集个数为2n个

(2)非空真子集个数为（2n-2）个

(3)非空子集个数为（2n-1）个

1.3　集合的基本运算

一、集合的基本运算

1.并集：由所有属于集合A，或属于集合B的元素组成的集合，成为A与B的并集，记作A∪B。读作：“A并B”。即A∪B={x｜x∈A，或x∈B}

（1）并集的性质：A∪A=A、A∪∅=A、A∪B=A则B⊆A

（2）并集的性质：A⊆（A∪B）、B⊆（A∪B）、（A∩B）⊆（A∪B）

2.交集：由属于集合A，且属于集合B的元素组成的集合，成为A与B的交集，记作A∩B。读作：“A交B”。即A∩B={x｜x∈A，且x∈B}

（1）交集的性质：A∩B=A、A∩∅=∅、A∩B=A则A⊆B

（2）交集的性质：A∩B⊆A、A∩B⊆B

3.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

4.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。记作：CUA。即：CUA={x｜x∈U且xA}

（1）补集的概念必须要有全集的限制

（2）补集的性质：CU∅=U、CUU=∅、CU（CUA）=A

（3）补集的性质：A∩（CUA）=∅、A∪（CUA）=U

1.4 充分条件与必要条件

一、充分条件和必要条件

1.定义：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可推出q ，

记作： p q 。①p是q的充分条件；②q是p的必要条件。

2从集合角度理解：p q 相当于pq

或

二、充要条件

1.充要条件：一般地，如果既有 p q ，又有 q p ，就记作： p q 。此时，我们说，p是q的

充分必要条件，简称充要条件。

①显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。概括的说，如果 p q ，

那么p与q互为充要条件。

2.从逻辑关系上看：

条件p与结论q的关系	结论
p q 但 q p	P是q成立的充分不必要条件
p q 但 p q	P是q成立的必要不充分条件
p q 但 q p	P是q成立的充要条件
p q 但 q p	P是q成立的既不充分也不必要条件

1.5 全称量词与存在量词

一、全称量词

1.全称量词：短语 “所有的” “任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “” 表示。

2.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。

3.全称命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立” 可用符号简记为 x∈M，p(x) ，

读作 “对于任意x属于M，有p(x)成立” 。

注意：①全称量词可以省略；

②全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质。

二、存在量词

1.存在量词：短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，并用

符号 “” 表示。

2.特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题

3.特称命题 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为 x0∈M，p(x0) ,

读作 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立” 。

三、含有一个量词的命题的否定

1.全称命题： x∈M，p(x)

特称命题： x0∈M，p(x0)

2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题

x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)

四、真假判断

1.全称命题： “ x∈M，p(x)”

①真命题：对集合M中每个元素x，证明p(x)成立。

②假命题：集合M中找到一个元素x0 ，使p(x0) 不成立。

2.特称命题： “ x0∈M，p(x)”

①真命题：集合M中找到一个元素x ，使p(x)成立。

②假命题：集合M中使p(x)成立的元素不存在。

第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.1　等式性质与不等式性质

一、不等关系与不等式

1.比较实数（代数式）大小的方法

（1）作差比较法

关于实数a，b大小的比较，有以下的事实：如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a<b。反过来也成立。

即 a-b>0 a>b

a-b=0 a=b

a-b<0 a<b

（2）作商比较法

a>0，b>0且 a>b

a>0，b>0且 a<b

（3）技巧：分式因解、平方后再作差、配方法、分母有理化

2.不等式的性质：

（1）性质1：a>b b<a 对称性

（2）性质2：a>b，b>c a>c 传递性

（3）性质3：a+b>c a+b+(-b)>c+(-b) a>c-b 可加性

（4）性质4：如果a>b，c>0，那么ac>bc . 如果a>b，c<0，那么ac<bc. 可乘性

（5）性质5：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 同向加法法则

（6）性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 同向乘法法则

（7）性质7：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥2）乘方法则

（8）性质8：如果a>b>0，那么（n∈N，n≥2）开方法则

2.2　基本不等式

一、基本不等式

1.两个重要不等式

（1）≥（，为任意实数）：当且仅当时，等号成立。

（2）≤（，为正数）：当且仅当时，等号成立。

2.基本不等式与最值（积定和最小，和定积最大）

（1）已知x，y是正数，如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值，为2

（2）已知x，y是正数，如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值，为

3.基本不等式链

（1）设a>0，b>0，则有（当且仅当a=b时取等号）

4.利用基本不等式求最值必须满足的条件（“一正，二定，三相等”）

（1）“一正”：各项必须都是正值

（2）“二定”：各项之和或各项之积为定值

（3）“三相等”：必须验证取等号时条件是否成立

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

一、“三个二次”的关系

1. 一元二次不等式：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2. 二次函数：

△=b2-4ac	△＞0	△=0	△＜0
Y=ax2+bx+c (a>0)的图像	y x1 o x2 x	y o x1= x2 x	y o x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根	两个不相等的实数根	两个相等的实数根	没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集	{x｜x<x1,或x>x2}	{x｜x≠-}	R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集	（x1，x2）	∅	∅

3.解法：

（1）判断该一元二次函数是否存在实数根

（2）解实数根

（3）判断函数图像（开口向上/开口向下）

（4）解出答案

例：求不等式4x2-4x+1>0的解集

解：在函数y=4x2-4x+1中， ∵△=b2-4ac=0

∴4x2-4x+1=0有两个相等的实数根为

又∵y=4x2-4x+1 图像开口向上

∴4x2-4x+1>0的解集为{x｜x≠}

二、分式不等式

>0 f(x) · g(x) > 0

<0 f(x) · g(x) < 0

≥0 f(x) · g(x) ≥0且g(x)≠0

≤0 f(x) · g(x) ≤0且g(x)≠0

例1：解不等式 ≥0

解： ≥0可化为 (x+1)(x-3)≥0 ，且x-3≠0

所以 ≥0的解集为{x｜x≤-1，或x>3}

例2：解不等式＜3

解：＜3 可化为＜0 ，即(x-1)(x+1)x＜0

所以＜3 的解集为{x｜-1<x<1}

2.穿根法：

①不等式右边为0，不等式左边为若干个因式的积

②未知数系数一定为正

③从右到左，从上到下，奇穿偶不穿（奇偶为因式的次数）

例3. 解不等式＜1

解：＜1 可化为＜0

则(-2x2+3x-1)(3x2-7x+2)<0 ,∴ (-2x+1)(x-1)(3x-1)(x-2)<0

(2x-1) (x-1)(3x-1)(x-2)>0

利用穿根法画图： 1 2

所以解集为{x｜x< ，或，或x>2}

第三章　函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

一、函数的概念

1.函数：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数。

记作：y= f(x)，x∈A.

2.自变量：其中，x叫做自变量

3.定义域：x的取值范围A叫做函数的定义域

4.函数值：与x的值相对应的y值叫做函数值

5.值域：函数值的集合{ f(x)｜x∈A}叫做函数的值域

6.注意：（1）“y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y= g(x)”

（2）函数符号”y= f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数。

7.构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域

8.区间的概念：

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

9.求值域：即y的取值范围

（1）数形结合法

（2）观察法

例① ：y=

解：∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴ ≥

∴y= 的值域为[，+∞）

例② ：y=

解：∵x2≥0，∴x2+1≥1（分母比分子大）

∴≤1，∴y=的值域为（0，1]

（3）配方法

例③ ：y=x2+2x+3在[-4，-3]区间对的值域

解：y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2

∴对称轴为x=-1 ∴当x=-3时，ymin==6

X=-4时，ymax=11，

∴y=x2+2x+3在[-4，-3]的值域为[6,11]

（4）换元法（y=ax+b±）

例④ ：y=x-

解：设t=（x≥1），则x=t2+1（t≥0）

∴y= t2+1-t（t≥0），即y=（t-）2+（t≥0）

∵对称轴t=，∴ymin=

∴y=x-的值域为[)

（5）分离常数法（y=）

例⑤ ：y=

解：y===+

∵≠0，∴y≠

∴y=的值域为{y｜y≠}

（6）反解x（反函数法）

例⑥ ：y=

解：由已知得2xy+y-3x-2=0，∴（2y-3）x=2-y

∴x= ，∵2y-3≠0 ，∴y≠

∴y=的值域为{y｜y≠}

（7）辨别式法求值域

例⑦ ：y=

解：由已知得yx2-yx+y=x2-x，

∴（y-1）x2-（y-1）x+y=0 （y≠1）

又∵△≥0 ，得-≤y＜1

∴y= 的值域为[-，1)

解：由已知得y= ，

∵x2-x+1=（）2+≥

∴ 0＜＜

∴＜1

10.求定义域：即当y= f(x)有意义时x的取值范围（定义域是一个集合）

（1）f(x)是整式（单项式和多项式）定义域为R

（2）f(x)的分母中含有字母，定义域为使得分母不为0的x值的集合

（3）f(x)含偶次数方根，定义域是根号里的式子大于或等于0的x值的集合

（4）对数函数，使其真数大于0的x的取值范围

（5）由实际问题确定的函数，使其有意义的x的取值范围为其定义域

11.区间的表示：

（1）R=（-∞，+∞）

（2）{x｜x≥a} = [a，+∞)

（3）{x｜x≤a} = (-∞，a]

（4）{x｜x >a} = （a，+∞）

（5）{x｜x <a} = （-∞，a）

（6）{x｜x≠a} = （-∞，a）∪（a，+∞）

12.函数相等：f(x)=x2+2x和f(t)=t2+2t相等

（1）满足条件：定义域、对应关系、值域相等

13.函数的定义域与值域

（1）y=kx+b（k≠0）定义域（-∞，+∞）值域（-∞，+∞）

（2）y=ax2+bx+c（a≠0）定义域（-∞，+∞）值域a>0：[，+∞)，a<0：(-∞，]

（3）y=（k≠0）定义域{x｜x≠0} 值域{y｜y≠0}

二、映射

1.映射：设A、B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中对的任意一个元素x，

在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个

映射（“一对一”和“多对一”）

映射非映射

三、函数的表示法

1.函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法

2.表示函数y=｜x｜。

（1）解析法：y= x，x≥0 分段函数（必须注明函数的定义域）

-x，x＜0

X	-2	-1	0	1	2
Y	2	1	0	1	2

（2）列表法：（选取的自变量要有代表性）

（3）图像法：（注意是否连实线）

3.分段函数：也是一个函数

4.求解析式：

（1）代入法：

例①： f(x)=2x+1 ，求f(x2+x)

解：当f(x)=2x+1 中的x变换为x2+x 时，如下：

f(x2+x)=2(x2+x)+1=2x2+2x+1

（2）配凑法：

例①：f()=x+2 ，求f(x)

解：f()= x+2=()2++1-1

=()2-1

∴f(x)=x2-1 （ x≥1）

（3）换元法：

例①：f()=x+2 ，求f(x)

解：令t= （x≥0），则x=（t-1）2 （t≥1）

∴f(t)=（t-1）2+2(t-1)=t2-1 （t≥1）

∴f(x)=x2-1 （ x≥1）

（4）待定系数法

例①：f(x)为一次函数，且f [f(x)]=25x+12 ，求f(x)

解：设f(x)=kx+b（k≠0）

f [f(x)]= k f(x)+b = k(kx+b)+b =k2x+kb+b

=25x+12

∴k2=25 、kb+b=12

∴k=5，b=2 或k=-5，b=-3

∴f(x)=5x+2 或 f(x)=-5x-3

（5）方程组法

例①：若f(x)- f(-x)=2x ①（x∈R），求f(x)

接：令x=-x，∴f(-x)- f(x)=-2x ②

①×2：2f(x)- f(-x)=4x ③

②+③： f(x)=2x ∴f(x)=x

（6）特殊值法

例①：f(x)为二次函数，且f(0)=1，f(x+1)- f(x)=2x，求f(x)

解：设f(x)=ax2+bx+c（a≠0）由f(0)=1 ，得c=1

令x=0 ，∴f(1)- f(0)=0 ，∴f(1)=1

∴a+b+1=1 ①

令x=-1，∴f(0)- f(-1)=-2，∴f(-1)=3

∴a-b+1=3 ②

由①、②得a=1，b=-1 ，∴f(x)=x2-x+1

解：设f(x)= ax2+bx+c（a≠0）由f(0)=1 ，得c=1

f(x+1)- f(x)= a(x+1)2+b(x+1)+c-（ax2+bx+c）

=ax2+2ax+a+bx+b+c- ax2-bx-c

=2ax+a+b

∵f(x+1)- f(x)=2x ，∴2ax+a+b=2x

∴a=1，b=-1 ，∴f(x)=x2-x+1

3.2　函数的基本性质

一、函数的单调性

1.增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个

自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

（1）注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质

②必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1,x2；当x1＜x2总有f(x1)＜f(x2)

2.减函数

3.单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有

（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间

4.判断函数单调性的方法步骤：

（1）利用定义证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1、x2∈D，且x1＜x2

②作差f(x1)-f(x2)

③变形（通常是因式分解和配方）

④定号（判断差f(x1)-f(x2)的正负）

⑤下结论

例①：判断f(x)= 在（0，+∞）上的单调性

解：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2

则f(x1)-f(x2) =-=

∵x1＜x2，∴x1-x2＜0 又x1.x2∈(0,+∞) ,∴x1·x2＞0

∴f(x1)-f(x2) = ＜0 即f(x1)＜f(x2)

∴f(x)= 在（0，+∞）上为增函数

5.常见函数的单调性

（1）f(x)=x ：在定义域R上单调递增

（2）f(x)=x2 ：在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增

（3）f(x)=(x-1)2 ：在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞) 上单调递增

（4）f(x)=（x≠0）：在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增

6.常见变式（判断变式的）

①②

7.最值：

（1）最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

1.对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；2.存在x0∈I，都有f(x0)=M。那么，

称M是函数y=f(x)的最大值。

（2）最小值

8.求最值的方法：

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值

（2）利用图像求函数的最值

（3）利用函数的单调性判断函数的最值

二、函数的奇偶性

1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

3.几何意义：

（1）偶函数的图像关于y轴对称

（2）奇函数的图像关于原点对称

4.注意：

（1）函数满足奇偶函数的条件：定义域关于原点对称，f(-x)= -f(x)或f(-x)= f(x)

（2）函数的奇偶性是函数的整体性质

5.利用定义判断函数奇偶性的步骤

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称

②确定f(-x)与f(x)的关系：f(-x)= -f(x)或f(-x)= f(x)

③下结论

例①：判断函数 f(x)=x(1-x) ，x＜0 的奇偶性

x(1+x) ，x＞0

解：y=f(x)的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称

当x＜0时，-x＞0，f(-x)=-x(1-x)=-f(x)

当x＞0时，-x＜0，f(-x)=-x(1+x)=-f(x)

综上函数f(x)= x(1-x) x＜0 为奇函数

x(1+x) x＞0

6.规律

（1）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反

（2）奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致

7.判断函数奇偶性的依据

①函数图像关于什么对称

②函数定义域是否关于原点对称（不对称：非奇非偶函数）

③f(-x)与f(x)的关系

④函数在关于原点对称的区间上的单调性是否一致

8.既奇又偶函数：既是奇函数又是偶函数（函数f(x)=0）

9.非奇非偶函数：既不是奇函数又不是偶函数

10. 周期性：f(x+T)=f(x) ，周期为T

11. 复合函数（同增异减）同为增函数则复合函数为增函数

3.3 幂函数

一、幂函数

1.幂函数：一般地，形如 y=xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中α为常数

2.常见的幂函数

3.幂函数的性质

（1）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图像都过点（1,1）

（2）a＞0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数。

特别地，当a＞1时，幂函数的图像下凸；0＜a＜1时，幂函数的图像上凸。

（3）a＜0时，幂函数的图像在区间[0，+∞]上是减函数。在第一象限内，当s从右边趋向原点时，

图像在y轴右方无线限逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图像在x轴上方无鲜地逼近x轴的正半轴。

3.4 函数的应用（一）

一、常见函数模型

1.一次函数模型：y=kx+b（k≠0）

2.反比例函数模型：（k≠0）

3.二次函数模型：y=ax2+bx+c（a≠0）

第四章　指数函数与对数函数

4.1　指数

一、指数与指数幂的运算

1.根式：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*

①当n是偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）

②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的偶次方根是一个负数

（1）根式：式子叫做根式

（2）根指数：式子中的n叫做根指数

（3）被开方数：式子中的a叫做被开方数

2.负数没有偶次方根

3.零的任何次方根都是零（记作：=0）

5. 根式结论：当n是奇数时， =a

当n是偶数时， =｜a｜=

6.正数的分数指数幂的意义

规定：

=（a＞0，m,n∈N*，n＞1）

= （a＞0，m,n∈N*，n＞1）

7. 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

8.有理指数幂的运算性质

（1）

（2）

（3）

9.无理指数幂：一般地，无理数指数幂（＞0，α是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质

同样适应于无理数指数幂

4.2　指数函数

二、指数函数及其性质

1.指数函数：一般地，函数（＞0，且≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R

2.满足指数函数的要求：①＞0，且≠1 ②系数为1 ③指数为自变量

3.一般地，指数函数（＞0，且≠1）的图像和性质如下表所示：

	＞1	0＜＜1
图像	y （＞1）（0，1） 0 x	y （0＜＜1）（0，1） 0 x
定义域	R
值域	（0，+∞）
性质	过定点（0,1），即x=0，y=1
	非奇非偶函数
	在R上为增函数	在R上为减函数

5.在第一象限内：底数越大，图像越靠近y轴

y=3x y=2x y=ax

y=bx

y= y=dx y=cx

底大图高 a＞b＞1＞c＞d＞0

4.3 对数

一．对数与对数的运算

1.对数：一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作： x=logaN

（1）底数：a叫做对数的底数

（2）真数：N叫做真数

2.常用对数：以10为底的对数，log10N=lgN

3.自然对数：在科学技术中常用以无理数e=2.71828……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，

logeN=lnN

4.对数与指数间的关系：当a＞0，且a≠1时， ax =N x=logaN

5.对数的性质：

①负数和零没有对数

②logaa=1

③loga1=0

④

6.对数的运算性质

①logaM·N= logaM+ logaN

②loga= logaM- logaN

③loga=n logaM

④Mn=aM

⑤logab=

⑥X=- logaX

⑦logab · logba = 1

⑧= logm2

⑨lg2 · lg5 = 1

7.运算性质的推导：

①设am=M，an=N ，则logaM=m , logaN=n

∴am · an =am+n =M · N ，∴logaM·N=m+n=logaM+logaN

②设am=M，an=N ，则logaM=m , logaN=n

∴ = am-n = ，∴loga=m-n= logaM-logaN

4.4 对数函数

一、对数函数及其性质

1. 一般地，函数y=logax （a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为（0，+∞）.

2. 对数函数y=logax （a＞0，且a≠1）的图像和性质

	0＜a＜1		a＞1
图像	y=logax (0＜a＜1) （1,0）		y=logax（a＞1）（1,0）
定义域	（0，+∞）
值域	R
性质	1.过定点（1，0），即x=1时，y=0
	2.在（0，+∞）上是减函数	在（0，+∞）上是增函数
	3非奇非偶函数函数

（1）y=logax与y=x的图像关于x轴对称

（2）在第一象限内：底数越小，越靠近y轴

（3）比较两个对数之间的大小:找中间量“0”、“1”进行比较

（4）求对数函数的定义域：底数＞0，且底数≠1，且真数＞0

二、反函数

1.反函数：一般地，指数函数（＞0，且≠1）与对数函数y=logax （a＞0，且a≠1）互为反函数，

它们的定义域与值域正好互换。

2.原函数

3.互为反函数: 函数f(x)与反函数(x)互为反函数

4.性质：

（1）函数f(x)与它的反函数图像关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的充要条件是：函数的定义域与值域是一一映射

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致，奇偶性一致

（4）原函数图像经过（a，b），则反函数图像经过（b，a）

5.求反函数的步骤：

①由f(x)求出x

②x和y互换位置

③求出(x)的定义域

6. y=2x 与y=log2x互为反函数

三、复合函数

1. 复合函数（同增异减）同为增函数则复合函数为增函数

4.5 函数的应用（二）

一、函数的零点

1.函数零点的概念：对于函数y=f(x)（x∈D），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y= f(x)（x∈D）的零点。

2.函数零点的意义：函数y= f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y= f(x)的图像与x轴交点的横坐标

即：方程f(x)=0有实根→函数y= f(x)的图像与x轴有交点→函数y= f(x)有零点

3.函数零点的求法：

（1）代数法：求方程f(x)=0的实数根

（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y= f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出

零点。

（3）二分法：对于y= f(x)的函数，若f(x0)＜0，f(x1)＞0，则零点在（x0，x1）内

4.二次函数的零点

	ax2+bx+c=0(a≠0)的根	y=ax2+bx+c=0(a≠0)图像与x轴的交点	f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的零点
△＞0	x1，x2 （x1≠x2 ）	（x1，0）、（x2，0 ）	x1和x2
△=0	x1=x2	（x1，0）	x1
△＜0	无实根	无交点	无零点

5.函数零点存在性的判定：

（1）在区间[a，b]上图像是连续不断的一条曲线

（2）f(a) · f (b)＜0

（3）在区间（a，b）内有零点

二、用二分法求方程的近似解

1.二分法：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a) · f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2.给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]。验证f(a) · f(b)＜0，给定精度ε

（2）求区间（a，b）的中点x1

（3）计算f(x1)

3.零点的存在：

（1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点

（2）若f(a) · f(x1)＜0，则令b=x1，（此时零点x0∈(a，x1）

（3）若f(x1) · f(b)＜0, 则令a=x1，（此时零点x0∈(x1，b）

4.判断是否达到精度ε：即若｜a-b｜＜ε，则得到零点。零点值a（或b）

5.注意：

（1）第一步确定零点所在的大致区间（a，b）可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量去端点为正数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

（2）建议列表样式如下：

零点所在区间	中点函数值	区间长度
[1，2]	f(1.5)＞0	1
[1，1.5]	f(1.25)＜0	0.5
[1.25，1.5]	f(1.375)＜0	0.25

第五章　三角函数

5.1　任意角和弧度制

一、任意角

1.任意角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

2.角的分类：

（1）正角：按逆时针方向旋转所成的角。

（2）负角：按顺时针方向旋转所成的角。

（3）零角：一条射线没有作任何旋转所成的角。

3.象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限(终边的端点除外)，就说这个角是第几象限角。

（1）第一象限角：0°+k·360°＜α＜90°+k·360° k∈Z

（2）第二象限角：90°+k·360°＜α＜180°+k·360° k∈Z

（3）第三象限角：180°+k·360°＜α＜270°+k·360° k∈Z

（4）第四象限角：270°+k·360°＜α＜360°+k·360° k∈Z

4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在

坐标轴上的角叫做轴线角。

（1）x轴正半轴：α=0°+k·360° k∈Z （5）x轴：α=k·180° k∈Z

（2）x轴负半轴：α=180°+k·360° k∈Z （6）y轴：α=90°+k·180° k∈Z

（3）y轴正半轴：α=90°+k·360° k∈Z

（4）y轴负半轴：α=270°+k·360° k∈Z

5.终边相等角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β｜β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

二、弧度制

1.角度制定义：规定周角的为一度的角，记作1°。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。

2.弧度制定义：长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记作1rad。

（1）半径：r

（2）弧长：l

（3）圆心角：α

3.弧度数：

（1）正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0。

（2）如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜= 。

（3）符号：rad ，读作：弧度。

（4）｜α｜= （单位：rad）｜圆的圆心角α｜= （单位：rad）。

（5）弧度制下：角的集合与实数R之间一一对应。

180°=π rad 1°= rad 1 rad =( ) ≈ 57.30° = 57°18′

度	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度	0								π		2π

4.在角度制下公式

（1）弧长公式： l =

（2）扇形面积公式： S =

5.在弧度制下公式

（1）弧长公式： l = α·R

（2）扇形面积公式： S = l R

5.2　三角函数的概念

一、任意角的三角函数

1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P(x，y)，它与原点的距离为r

(r=＞0)，那么

（1）正弦：sinα = （4）余切：cotα =

（2）余弦：cosα = （5）正割：secα =

（3）正切：tanα = （4）余割：cscα =

2.三角函数线：正弦线MP、余弦线OM、正切线AT。

3.单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。

4.终边相同的角的同一个三角函数的值相等。

（1）公式一：

求任意角的三角函数值：转化为求0～2π角的三角函数值。

5.三角函数值

角α	定义域	0°	90°	180°	270°	360°
角α的弧度数		0		π		2π
sinα	R	0	1	0	-1	0
cosα	R	1	0	-1	0	1
tanα	α≠+2kπ	0	无意义	0	无意义	0

6.三种函数的值在各象限的符号

y y y

x x x

sinα y cosα x tanα

二、同角三角函数的基本关系

1.公式：（1）sin2α+cos2α = 1 （2） tanα =

2.深化公式：

（1）1+2·sinα·cosα =sin2α+2·sinα·cosα+cos2α = (sinα+cosα)2

（2） = = ｜｜

5.3 诱导公式

一、正弦、余弦的诱导公式

1. （1）公式二：

（2）公式三：

（3）公式四：

总结：α+k·2π（k∈Z），-α，π±α 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（4）公式五：

（5）公式六：

总结：的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加

上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

奇变偶不变，符号看象限

5.4 三角函数的图像与性质

一、正弦函数、余弦函数的图像和性质

1.正弦、余弦函数图像画法：（1）几何法（2）五点法：0、、π、、2π

2.曲线：正弦曲线：y=sinx，x∈R，余弦曲线：y=cosx，x∈R

3.性质：

-1

函数	y=sinx	y=cosx
定义域	R	R
值域	[-1，1]	[-1，1]
周期	T=2kπ（k∈Z）	T=2kπ（k∈Z）
最小正周期	2π	2π
奇偶性	奇函数	偶函数
对称轴	x=+kπ，k∈Z	x=kπ，k∈Z
对称中心	（kπ，0），k∈Z	（+kπ，0），k∈Z
单调性	递增 [-+2kπ，+2kπ] k∈Z	递增 [-π+2kπ，2kπ] k∈Z
单调性	递减 [+2kπ，+2kπ] k∈Z	递减 [2kπ，π+2kπ] k∈Z
ymin	x=-+2kπ，k∈Z	x=+2kπ，k∈Z
ymax	x=+2kπ，k∈Z	x=2kπ，k∈Z

（1）周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)= f(x) ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

（2）最小正周期：在周期函数f(x)的所有周期中存在的一个最小正数。

（3）函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos (ωx+φ)的周期：T=

（4）奇偶性：对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(-x)=- f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。

（5）对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（6）单调性：单调递增、单调递减

二、正切函数的图像和性质

1.正切函数画法：“三点二线”

（1）三点：（-，-1）（0,0）（，1）（2）二线：x= ，x=

2.正切曲线：y=tanx ，x≠+kπ（k∈Z）

3.性质：

定义域	x≠+kπ（k∈Z）
值域	R
周期	T=kπ（k≠0，k∈Z
最小正周期	π
奇偶性	奇函数
对称轴	关于原点（0，0）对称
对称中心	（，0） k∈Z
单调性	（+kπ，+kπ）单调递增 k∈Z
渐进线	x=+kπ k∈Z
y=Atan(ωx+φ)的周期T=